前面已经求出查德为了成功滑倒坡底而需要的试滑次数,但如果想求期望和方差呢?知道期望用处很多,例如,在数学期望已知的情况下,就可以得出查德在成功之前试滑次数的期望值.

还记得前面部分是如何求期望的吗?E(X)可以通过∑xP(X=x)进行计算.这个例子有无穷多个概率.不过,我们可以先算算前面几个数值,看看是否存在某种固定模式.

下面是x的前几个数值,其中X~Geo(0.2)

x P(X=x) xP(X=x) xP(X≤x)
1 0.2 0.2 0.2
2 0.16 0.32 0.52
3 0.128 0.384 0.904
4 0.1024 0.4096 1.3136
5 0.08192 0.4096 1.7232
6 0.065536 0.393216 2.116416
7 0.0524288 0.3670016 2.4834176
8 0.041943040.33554432 2.81894608

xP(X=x)的数值一开始很小,接着越变越大,直到x=5,当x大于5时,数值又开始减小,并且随着x的变大而继续减小,X越来越大,xP(X=x)越来越小,直到几乎不能使累计综合发生变化.

期望是1/p

将xP(X=x)的累计综合画成图形后,可以看出,随着x变大,累计综合越来越接近一个特定数值:5,实际上,经过无穷多次实验后,xP(X=x)的累计总计正式等于5,即:

E(X)=5

上式的意义很直观,单次实验的成功概率为0.2,可以理解为5次尝试中有一次尝试倾向于成功,因此我们可以期望查德尝试5次即获成功.
以上情况可以推而广之至任意数值p,如果X~Geo(p),则:

E(X)=1/p