前面讲到如何计算和利用概率分布,不过,如果方法更简单一些,计算速度更快一些,效果岂不是更好?我们将介绍一些特殊的概率分布,这些概率分布有着十分固定的模式.只要懂得这些模式并善加利用,就能以前所未有的速度计算概率,期望,方差.

倒霉的滑雪者查德
查德喜欢滑雪,但他是个事故大王,查德不出事故顺利滑至坡底的概率是0.2,他打算不停尝试,直至大功告成.

我们需要求出查德的概率分布
现在,你已经求出了查德在雪坡上试滑不出3次就能成功的概率(0.36),不过,如果你需要了解他试滑10次成功的概率,那该怎么办呢?

相对于每一次都老老实实地从头开始计算概率,概率分布可能更方便.为此,我们需要指出查德最终到达坡底需试滑次数的每一种可能性,并算出相应的概率.

这样做有问题,因为可能次数无穷无尽
只要尚未试滑成功,查德就会不停地试下去.他可能要试1次,10次,100次…甚至1000次.查德到底什么时候会获得首次成功?谁也不能确定.

即使可能次数无穷无尽,还是有办法求出它的概率分布
这其实是一种特殊的概率分布,这种概率分布具有一些特殊属性,能够简化概率,数学期望,以及方差的计算.

这种概率分布有一种固定模式
让我们用变量X表示查德为了在雪坡上取得一次功能而需要经理的试滑次数.查德只需要成功一次即可,伺候他将停止试滑.

让我们先看前4次试滑,据此计算X的前4个数值的概率,然后,我们可以看看是否存在某种固定模式能帮助我们轻松地计算出其余数值的概率.

x=1:P(X=x)0.2
x=2:P(X=x)0.8×0.2=0.16
x=3:P(X=x)0.8×0.8×0.2=0.128
x=4:P(X=x)0.8×0.8×0.8×0.2=0.1024

注意:每个概率都是0.8的幂与0.2的幂的乘积

概率分布可以用代数式表示
如你所见,查德的滑雪实验有其特定模式,每一个概率都是0.8和0.2的乘积,利用下式,你能迅速算出任意次数r的概率:
p(X=r)=0.8(r-1)次方x0.2
即,如果要求P(X=100),只要这样算就行:
P(X=100)=0.8(99次方)x0.2
我们可以进一步总结这个公式,如果用p代表单词试滑成功概率,则失败的概率为1-p,我们将此概率称为q,于是可以用下式计算任何具有这一性质的概率
P(X=r)=q(r-1次方)xp
这个公式叫做概率的几何分布.