新概率分布:

-2:0.977
23:0.008
48:0.008
73:0.006
98:0.001

可以看出每一局成本上涨到2元,赢金是原来的5倍,由于新旧收益之间存在关系,所以它们的期望和方差也存在关系.

X=原收益-新成本
=原收益-1

原收益=x+1

Y=5x原收益-新成本
=5(x+1)-2
=5x+5-2
=5X+3

E(X)和E(Y)之间存在线性关系

我们发现,新收益与原收益可以通过Y=5X+3联系起来,其中Y为新收益,X为原收益.现在我们要看看E(X)与E(Y)之间以及Var(X)与Var(Y)之间存在某种关系.
如果存在某种关系,我们就能在改价码时大大节省计算新期望和新方案的时间,只要知道新结果和原结果之间的关系,我们就能迅速算出新期望和新方案.

变换

首先,你求出了X期望与方差,这里的X代表你在每一局中有望获得的收益.
然后,你想知道价格变化会造成什么样的影响,但不想完全从头开始计算期望与方差,于是你算出新收益和原收益之间的关系,再利用这种关系计算出来新期望与新方案.得出:

E(5X+3)=5E(X)+3
Var(5X+3)=5²Var(X)

线性变换的通用公式
我们可以将以下公式推广至任意随机变量,若随机变量为X:

E(aX+b)=aE(x)+b
Var(aX+b)=a²Var(X)

这就是所谓的线性表换,因为X发生的是线性变化–即基础概率保持不变,但数值为新值,其形式为:aX+b

使用线性变换和多玩几种游戏有区别

使用线性变换后,所有概率保持不变,但可能出现的数值发生变化–发生变换的是数值而非概率.这些可能数值的数目仍然不变.

如果多玩几种其他游戏,则数值和概率都发生变化,就连可能数值的数目也会发生变化.这时不可能只对数值进行转化,而概率的计算会迅速变得错综复杂.让我们看一个简单实例.假设你在玩一台简单的老虎机,概率分布为X.

-1:0.9
5:0.1

为了求出2X的概率分布,只需将X乘以2,由于潜在收益翻倍,因此基础数据发生了变化.

-2:0.9
10:0.1

如果想在这台上面玩两局,结果会怎样呢?你需要从头开始计算概率分布,这时要考虑两局赌局可能出现的所有结果:

-2:0.81
4:0.18
10:0.01

这一次概率和数值都变了,那么我们该如何求出这种情况的期望与方差?