方差指示结果的分散性

期望指出每一局得到的平均收益,如果每一次都赔这么多钱,那么有何乐趣?
有理由期望每一局偶赔钱并不表示连一丁点赢钱的希望有没有,和均值一样,期望并没有全面体现出每一局有可能存在收益变化.

概率分布确实有其方差

期望指出以哦个变量的典型值或平均值,但并不提供有关数值分散性的任何信息.如果得到分散性信息,我们将能更多的了解潜在收益的变化情况.
我们可以使用方差量度这种分散性.

方差和概率分布
先回顾一下,我们计算一批数字的方差–我们算出每个数字的(X-μ)²,然后取所有计算结果的平均值.
类似,我们可以算出变量x的方差,但我们不求(X-μ)²的平均值,而是求(X-μ)²的期望,计算公式如下:

Var(X)=E(X-μ)²

只有一个问题,如何求出(X-μ)²的期望?

如何计算(X-μ)²?

求E(x-μ)²的方法与求E(X)的方法非常相似.
计算E(X)时:取概率分布中的每一个数值,乘以其概率,然后将各个乘机相加.也就是使用下式进行计算:

E(X)=∑xP(X=x)

计算x方差时,计算每个数值x的(x-μ)²,用所得结果乘以相应数值x的发生概率,然后将各个结果相加.

E(X-μ)²=∑(x-μ)²P(X=x)
取每一个数值x,算出(X-μ)²,用所得结果乘以相应x的发生概率

也就是说,你不是用x乘以其相应概率,而是用(x-μ)²乘以相应x的发生概率.

让我们算算老虎机的方差

让我们看看能否用上述方法计算老虎机的方差,为此,我们用每一个值减去μ,取差的平方,然后乘以概率μ=-0.77

Var(X)=E(X-μ)²
=(-1+0.77)²x0.977+(4+0.77)²x0.008+(9+0.77)²x0.008+(14+0.77)²x0.006+(19+0.77)²x0.001
=2.6971

这就是说,当收益期望为-0.77时,方差为2.6971

就像可以算出方差一样,也可以算出概率分布的标准差.
概率分布的标准差与数据集的标准差作用相似,是一种量度数据与数据中心的期望距离的方法.
像以前一样,标准差的计算方法是取方差的平方根:

σ=根号Var(X)

这就是说老虎机收益的标准差是1.642,这表示从平均情况来看,我们每一局收益与期望收益-0.77之间的距离是1.642.