假想你有一副概率树,上面显示了事件A和事件B的概率,假定已知每个分支的概率如下:

–P(A)–B P(B|A)
|         |-B` P(B`|A)
–P(A`)–B P(B|A`)
|-B` P(B`|A`)

现在,假设你要求P(A|B),并且知道上面的概率树上所显示的信息,请问如何使用已知概率求出P(A|B)?

我们可以从以前算过的公式开始:

P(A|B)=P(A∩B)/P(B)

现在可以用概率树上的概率求出P(A∩B),换句话说,我们可以使用以下公式计算P(A∩B):

P(A∩B)=P(A)xP(B|A)

利用全概率公式求解P(B)

P(B)=P(A∩B)+P(A`∩B)

我们可以根据概率树上得知的概率,重写这个公式

P(A∩B)=P(A)xP(B|A)
P(A`∩B)=P(A`)xP(B|A`)

得出

P(B)=P(A)xP(B|A)+P(A`)xP(B|A`)

这个公式有时被称为全概率公式,因为它提供了一种方法:根据条件概率计算一个特定事件的全概率.
既然已经求出P(A∩B)和P(B)的概率,就可以将这两个公式放在一起,得出P(A|B)的表达式:

P(A|B)=(P(A)xP(B|A))/(P(A)xP(B|A)+P(A`)xP(B|A`))