那么如何求P(黑|偶)?即使无法从概率树上直接看出这个概率,也还有办法通过已知概率算出这个概率.我们所需要做的是查看已知概率,然后设法用这些已知概率算出我们还不知道的概率.

让我们先分析要求的最终概率:

P(黑|偶) = P(黑∩偶)/P(偶)

只要能求出P(黑∩偶)和P(偶)的概率,就能将这些概率带入公式,算出P(黑|偶),我们需要通过一些过程求出这些概率.

第一步:求P(黑∩偶)

让我们先计算公式的第一部分:P(黑∩偶)

为此先求: P(黑|偶) = P(黑∩偶)/P(偶)

到现在为止,我们还只是设计了公式的第一部分:P(黑∩偶).而你已经了解如下算法:

P(黑∩偶)=P(黑)xP(偶|黑)

由此可以得出

P(黑|偶)=(P(黑)xP(偶|黑))/P(偶) 使用P(黑)xP(偶|黑)代替原公式中的P(黑∩偶)

第二步:求P(偶)

接下来求小球停在偶数球位的概率,我们可以想想发生这种结果的所有方式,据此求解.

小球停在偶数球位上的情况包括:球位既是黑色又是偶数,或者球位既是红色又是偶数.这两种情况就是小球停在偶数球位上的方式.

这表示我们可以将P(黑∩偶)与P(红∩偶)相加,得出P(偶).也就是说,我们将”既是黑色有时偶数的球位”和”即使红色又是偶数的球位”的概率相加.概率树说说那个的相应分支以黑色实现突出指示.

得出:

P(偶) = P(黑∩偶)+P(红∩偶)
= P(黑)xP(偶|黑)+P(红)xP(偶|红)
=18/38×10/18 + 18/38×8/18
=9/19

第三步:求P(黑|偶)

P(黑|偶)=P(黑∩偶)/P(偶)

一开始求的是P(黑∩偶)

P(黑∩偶)=P(黑)xP(偶|黑)

接着求出P(偶)

P(偶)=P(黑)xP(偶|黑)+P(红)xP(偶|红)

将这些公式合并就可以利用概率树上的概率值计算P(黑|偶)

P(黑|偶)=P(黑∩偶)/P(偶)
=(P(黑)xP(偶|黑))/(P(黑)xP(偶|黑)+P(红)xP(偶|红))
=5/9

这说明我们现在找到了利用已知概率求解新条件概率的方法–这就能帮助我们解决更多错综复杂的概率问题了