第一轮有3个问题,每个问题有4个备选答案.

求3个问题的概率

与几何分布一样,这里的概率似乎也有某种模式,每一种概率都含有0.75和0.25的幂,0.75幂减小,0,25幂增大.

一般,P(X=r)如下计算:

P(X=r)=?x0.25×0.75

即,为了求出答对r题的概率,可算出0.25的r次方,然后乘以0.75的3-r次方,然后将以上结果乘以某个数字,这个数字是多少呢?

缺少的数字是哪一个?
对于每一种概率,我们需要答对一定数目的问题,而答对一定数目的问题的方式不止一种,例如,总共3题,答对其中任意一题的情况有3种.还可以这样理解:存在3种不同的组合.

提示一下:组合nCr即从n个对象中选取r个对象的选取方式数目.这正式我们现在碰到的情况,我们需要从3个问题中选取r个答对的问题.
P(X=r)=3Crx0.25r的平方x0.75(3-r的平方)
因此,根据这个公式,答对1题的概率为:
P(X=r)=3C1x0.25×0.75的2次方
=0.422

这一轮有5个问题,每个问题有4个备选答案

进一步推导概率算式
前面讲过,答对3个问题中的r个问题的概率是:
P(X=r)=3Crx0.25r次方x0.75(3-r次方)
其中0.25为每道题的答对数量,0.75为每道题的答错概率.

这一轮有5个问题,而不是3个,我们就不重新计算5个问题的解法了–让我们求出n个问题的解法,这样就能用同一个公式解决每一轮的问题.
那么用哪个公式计算答对n个问题中的r个问题的概率呢?

P(X=r)=nCrx0.25r次方x0.75(n-r次方)

没错,可以进行归纳
设想每道题的答对概率是p,而每道题的答错概率是1-p,也就是q,答对n个问题中的r个问题的概率为:
P(X=r)=nCrxPr次方xq(n-r次方)

这类问题称为二项分布

二项分布包括下列条件:
1.正在进行一系列独立的实验
2.每一次实验都存在失败和成功的可能,每一次实验的成功概率相同.
3.实验次数有限.

和几何分布的情况一样,你要进行一系列独立试验,每一次试验结果或成功或失败,差别在于这一次你感兴趣的是获得成功的次数.
让我们用X表示”n次试验中的成功次数”,为了求出取得r次成功的概率,可用下列算式:

P(X=r)=nCrPrQn-r

P是每一次实验的成功概率,n是试验次数.写作:
X~B(n,p)
根据n与p的不同数值,二项分布的形状会发生变化,p越接近0.5图形越对称,一般情况下,当p小于0.5时,图形向右偏斜,当p大于0.5时,图形向左偏斜.

期望和方差是如何计算的?
前面讲过如何使用二项分布计算基本概率,由此我们可以算出答对一定数目的问题的概率,但是,如果答案是随机选择的,那么我们到底能期望自己答对几个问题呢?算出期望可以帮助你作出更正确的选择,以便决定是否参加下一轮问题的问答.
让我们看看能够求出期望和方差的常规表达式.我们先算单次试验的期望和方差,然后看看是否能推广至n次独立的试验.

先看单次试验
假定我们只实验一次,每一次实验或是成功或是失败.因此,在单次实验时,有可能取得0次或1次成功,如果X~B(1,p),则成功1次的概率为p,成功0次的概率为q

E(X)=0q + 1p
=p

Var(X)=E(X²)-E(X)²
=(0q+1p)-p²
=p-p²
=p(1-p)
=pq

因此,单次试验的E(X)=p,Var(X)=pq,那么n次实验呢?

二项分布的期望和方差
让我们归纳一下前面做过的分析,首先看单次试验情况:单次试验的成功概率为P,符合二项分布.根据这些条件,我们求出了单次实验的期望和方差.

然后我们分析了n个独立实验的情况,并利用简便方法求出了n次试验的期望与方差,我们发现,只要X~B(n,p),则:

E(X)=np
Var(X)=npq

得出这个结论十分有用,因为这样依赖,我们不用大量计算单个概率,就能迅速求出任何二项概率分布的期望和方差.