新郎新娘的综合体重小于过山车限额载荷的几率很大,不过为什么仅限新郎新娘乘坐过山车呢?

让我们再加一辆车,另外载上四位婚礼成员,看看结果如何.轿车的总载重量为800磅,假定一位成年人的体重分布为:
X~N(180,625)
其中X代表一位成年人的体重,单位为磅,可是如何计算4位成年人的综合体重低于800磅的概率呢?

线性变换描述了数据的基本变化
让我们先看4X的概率分布,其中X为一位成年人的体重.4X是否适合描述4位成年人的概率分布?
4X的分布其实是X的一个线性变换,是X进行aX+b变换的结果,其中a等于4,b等于0.这与我们先前在离散概率分布中遇到过的变换类型完全相同.
线性变换描述的是概率分布中的数值在大小方面的基本变化,即,4X其实描述的是一个成年人的体重放大4倍后的结果.

那么线性变换的分布是怎样的?
假定你有一个X的线性变换,其形式为aX+b,其中X~N(μ,σ²),由于X符合正态分布,于是aX+b也属于正态分布.但期望和方差是多少呢?
让我们先算期望,在讲离散概率分布的时候,我们发现E(aX+b)=aE(X)+b.现在,X符合正态分布且E(X)=μ,于是我们得出E(aX+b)=aμ+b.
方差的处理方法与此相似,在讲离散概率分布的时候,我们发现Var(aX+b)=a²Var(X),且这里的Var(X)=σ²,于是得出Var(aX+b)=a²σ².

合并以上两个结果,得到:
aX+b~N(aμ+b,a²σ²)
即,新均值为aμ+b,新方差为a²σ²,那么独立观察结果是多少?

而独立观察结果描述的是你有多少数值
我们实际需要计算的是4位独立成年人的综合体重概率分布,而不是对每一位成年人的体重进行变换.即,我们需要算出X的4个独立观察结果的概率.
每一位成年人的体重都是X的一个观察结果,这意味着每一位成年人的一种都通过X的概率分布进行描述,我们需要算出X的4个独立观察结果的概率分布,也就是要求以下概率:
x1+x2+x3+x4
其中x1,x2,x3,x4的X的独立观察结果.

独立观察结果的期望和方差
在讲到离散随机变量的独立观察结果的方差和期望时,我们曾经发现:
E(X1+X2…Xn)=nE(X)
及
Var(X1+X2…Xn)=nVar(X)
如你所料,相同的算法也适用于连续随机变量,即如果X~N(μ,σ²)则:
x1+x2+…+xn~N(nμ,nσ²)

X~N(180,625)
x1+x2+x3+x4~N(720,2500)
为了求出P(X1+X2+X3+X4<800),我们先求标准分

z=x-μ/σ
=1.6

在标准正态概率表中查看这个数值,得到0.9452